Bài toán gốc
Nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
A. $\ln |2x+1|+C$
B. $\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$
C. $-\ln |2x+1|+C$
D. $-\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$
Lời giải: Áp dụng công thức $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln |ax+b|+C$ ta được $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số hữu tỉ $f(x) = \dfrac{1}{ax+b}$. Phương pháp giải là áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm mở rộng $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b} \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a}\ln |ax+b|+C$.
Bài toán tương tự
1. Nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{3x-2}\mathrm{d}x$ bằng
A. $3\ln |3x-2|+C$
B. $\dfrac{1}{3}\ln |3x-2|+C$
C. $-\dfrac{1}{3}\ln |3x-2|+C$
D. $\ln |3x-2|+C$
Đáp án đúng: B. Lời giải: Áp dụng công thức $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b} \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a}\ln |ax+b|+C$ với $a=3, b=-2$. Ta có $I=\dfrac{1}{3}\ln |3x-2|+C$.
2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{1-4x}$.
A. $\dfrac{1}{4}\ln |1-4x|+C$
B. $-4\ln |1-4x|+C$
C. $-\dfrac{1}{4}\ln |1-4x|+C$
D. $\ln |1-4x|+C$
Đáp án đúng: C. Lời giải: Ta có $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{1-4x}\mathrm{d}x$. Ở đây $a=-4$. Vậy $I=\dfrac{1}{-4}\ln |1-4x|+C = -\dfrac{1}{4}\ln |1-4x|+C$.
3. Nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{5}{5x+7}\mathrm{d}x$ là
A. $5\ln |5x+7|+C$
B. $\dfrac{1}{5}\ln |5x+7|+C$
C. $\ln |5x+7|+C$
D. $25\ln |5x+7|+C$
Đáp án đúng: C. Lời giải: Ta có $I=5\displaystyle\int \dfrac{1}{5x+7}\mathrm{d}x = 5 \cdot \left(\dfrac{1}{5}\ln |5x+7|\right)+C = \ln |5x+7|+C$.
4. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x+5}$ là
A. $\dfrac{1}{5}\ln |x+5|+C$
B. $\ln |x+5|+C$
C. $-\ln |x+5|+C$
D. $\dfrac{1}{5}\ln |x+5|+C$
Đáp án đúng: B. Lời giải: Áp dụng công thức với $a=1, b=5$. $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{x+5}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{1}\ln |x+5|+C = \ln |x+5|+C$.
5. Kết quả của phép tính nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2-x}\mathrm{d}x$ là
A. $\ln |2-x|+C$
B. $-\dfrac{1}{2}\ln |2-x|+C$
C. $-\ln |2-x|+C$
D. $2\ln |2-x|+C$
Đáp án đúng: C. Lời giải: Ta có $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{-x+2}\mathrm{d}x$. Hệ số $a=-1$. Vậy $I=\dfrac{1}{-1}\ln |-x+2|+C = -\ln |2-x|+C$.