Bài toán gốc
Tính $\displaystyle\int (4x + 2)^2\mathrm{d}x$ ta được kết quả
A. $\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 7 x + C$
B. $\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C$
C. $\dfrac{25 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C$
D. ${\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C}$
Lời giải: Ta có
$\displaystyle\int (4x + 2)^2 dx = \displaystyle\int\left( 16 x^{2} + 16 x + 4\right)\mathrm{d}x = \dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C.$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số là lũy thừa bậc hai của một biểu thức bậc nhất, $\int (ax+b)^2 dx$. Phương pháp giải phổ biến là khai triển biểu thức thành đa thức bậc hai: $(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$, sau đó sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản cho từng hạng tử: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Bài toán tương tự
1. Câu hỏi 1: Tính $\displaystyle\int (3x – 1)^2\mathrm{d}x$ ta được kết quả:
A. $3x^3 – 3x^2 + 2x + C$
B. $9x^3 – 6x^2 + x + C$
C. $3x^3 – 3x^2 + x + C$
D. $3x^3 + 3x^2 + x + C$
Đáp án đúng: C.
Lời giải: Ta có $\int (3x – 1)^2 dx = \int (9x^2 – 6x + 1) dx = \frac{9x^3}{3} – \frac{6x^2}{2} + x + C = 3x^3 – 3x^2 + x + C$.
2. Câu hỏi 2: Nguyên hàm của hàm số $f(x) = (5x + 3)^2$ là:
A. $\frac{25x^3}{3} + 15x^2 + 9x + C$
B. $\frac{25x^3}{3} + 30x^2 + 9x + C$
C. $25x^3 + 15x^2 + 9x + C$
D. $\frac{1}{15}(5x+3)^3 + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $\int (5x + 3)^2 dx = \int (25x^2 + 30x + 9) dx = \frac{25x^3}{3} + \frac{30x^2}{2} + 9x + C = \frac{25x^3}{3} + 15x^2 + 9x + C$.
3. Câu hỏi 3: Tính $\displaystyle\int (x + 6)^2\mathrm{d}x$ ta được kết quả nào sau đây?
A. $\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 36x + C$
B. $\frac{x^3}{3} + 12x^2 + 36x + C$
C. $\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 12x + C$
D. $\frac{1}{3}(x+6)^3 + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $\int (x + 6)^2 dx = \int (x^2 + 12x + 36) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} + 36x + C = \frac{x^3}{3} + 6x^2 + 36x + C$.
4. Câu hỏi 4: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 4x^2 – 20x + 25$.
A. $\frac{4x^3}{3} – 10x^2 + 25x + C$
B. $4x^3 – 20x^2 + 25x + C$
C. $\frac{4x^3}{3} – 20x^2 + 25x + C$
D. $\frac{4x^3}{3} – 5x^2 + 25x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $\int (4x^2 – 20x + 25) dx = \frac{4x^3}{3} – \frac{20x^2}{2} + 25x + C = \frac{4x^3}{3} – 10x^2 + 25x + C$.
5. Câu hỏi 5: Tính $\displaystyle\int [(2x – 1)^2 + 4]\mathrm{d}x$ ta được kết quả:
A. $\frac{4x^3}{3} – 2x^2 + 5x + C$
B. $\frac{4x^3}{3} – 2x^2 + 3x + C$
C. $\frac{4x^3}{3} + 2x^2 + 5x + C$
D. $\frac{4x^3}{3} – 4x^2 + 5x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $(2x-1)^2 + 4 = (4x^2 – 4x + 1) + 4 = 4x^2 – 4x + 5$. Do đó, $\int (4x^2 – 4x + 5) dx = \frac{4x^3}{3} – \frac{4x^2}{2} + 5x + C = \frac{4x^3}{3} – 2x^2 + 5x + C$.