Bài toán gốc
Tính nguyên hàm của hàm số $y=- 4 x^{3} + 2 x^{2} + x – 4$.
A. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} – 4 x – 1 + C$
B. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} – 4 x + C$
C. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} – x – 2 + C$
D. $- \dfrac{3 x^{4}}{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} – 4 x + C$
Lời giải: Ta có $\displaystyle\int (- 4 x^{3} + 2 x^{2} + x – 4) \mathrm{{d}}x = – x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} – 4 x + C$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính nguyên hàm (hay tích phân bất định) của một hàm đa thức. Phương pháp giải là áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản cho hàm lũy thừa: $\int x^n \mathrm{{d}}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \ne -1$), và sử dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int [af(x) + bg(x)] \mathrm{{d}}x = a\int f(x) \mathrm{{d}}x + b\int g(x) \mathrm{{d}}x$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1. Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^5 – 3x^2 + 8x – 1$.**
A. $x^6 – x^3 + 4x^2 – x + C$
B. $6x^6 – x^3 + 8x^2 – x + C$
C. $x^6 – 3x^3 + 4x^2 – x + C$
D. $x^6 – x^3 + 8x – 1 + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $\int (6x^5 – 3x^2 + 8x – 1) \mathrm{{d}}x = 6\dfrac{x^6}{6} – 3\dfrac{x^3}{3} + 8\dfrac{x^2}{2} – x + C = x^6 – x^3 + 4x^2 – x + C$.
**2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 9x^2 – 10x + 5$.**
A. $F(x) = 3x^3 – 5x^2 + 5x$
B. $F(x) = 3x^3 – 5x^2 + 5x + C$
C. $F(x) = 9x^3 – 10x^2 + 5x + C$
D. $F(x) = 18x – 10 + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải: Áp dụng công thức nguyên hàm, ta được $F(x) = 9\dfrac{x^3}{3} – 10\dfrac{x^2}{2} + 5x + C = 3x^3 – 5x^2 + 5x + C$.
**3. Tính nguyên hàm $I = \int (-8x^3 + 12x^2 – 7) \mathrm{{d}}x$.**
A. $-2x^4 + 4x^3 – 7 + C$
B. $-2x^4 + 4x^3 – 7x + C$
C. $-8x^4 + 12x^3 – 7x + C$
D. $4x^4 – 6x^3 + 7x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải: $I = -8\dfrac{x^4}{4} + 12\dfrac{x^3}{3} – 7x + C = -2x^4 + 4x^3 – 7x + C$.
**4. Nguyên hàm của hàm số $g(x) = x^6 + 3x^4 – 6x^2 + 2$ là:**
A. $\dfrac{x^7}{7} + \dfrac{3x^5}{5} – 2x^3 + 2x + C$
B. $x^7 + 3x^5 – 6x^3 + 2x + C$
C. $\dfrac{x^7}{7} + \dfrac{x^5}{5} – 2x^3 + 2x + C$
D. $6x^5 + 12x^3 – 12x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: $\int (x^6 + 3x^4 – 6x^2 + 2) \mathrm{{d}}x = \dfrac{x^7}{7} + 3\dfrac{x^5}{5} – 6\dfrac{x^3}{3} + 2x + C = \dfrac{x^7}{7} + \dfrac{3x^5}{5} – 2x^3 + 2x + C$.
**5. Cho hàm số $h(x) = 15x^4 – 4x^3 + \dfrac{1}{2}x$. Tính $\int h(x) \mathrm{{d}}x$.**
A. $3x^5 – x^4 + \dfrac{x^2}{4} + C$
B. $15x^5 – 4x^4 + \dfrac{x^2}{2} + C$
C. $3x^5 – x^4 + \dfrac{x^2}{2} + C$
D. $4x^5 – x^4 + \dfrac{x^2}{4} + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải: $\int (15x^4 – 4x^3 + \dfrac{1}{2}x) \mathrm{{d}}x = 15\dfrac{x^5}{5} – 4\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{1}{2}\dfrac{x^2}{2} + C = 3x^5 – x^4 + \dfrac{x^2}{4} + C$.