Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất 20000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $R=6$ (nghìn km$)$

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất 20000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $R=6$ (nghìn km$)$. Với một hệ tọa độ $Oxyz$ đã chọn, $O$ là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ $A\left(26;0;0\right),B\left(0;26;0\right)$. Xét điểm $M\left(x;y;z\right)$ thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ theo đơn vị nghìn km (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 44
Lời giải: Mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2=36$ và gọi $M\left(x;y;z\right)$
Ta có: $MA+MB=\sqrt{\left(x-26\right)^2+y^2+z^2}+\sqrt{x^2+\left(y-26\right)^2+z^2}$
$\ge\sqrt{\left(x+y-52\right)^2+\left(x+y\right)^2+4z^2}\ge\sqrt{\left(x+y-52\right)^2+\left(x+y\right)^2}$ khi $z=0$
Đặt $x+y=t$ suy ra $f(t)=\sqrt{\left(t-52\right)^2+t^2}$ với $t\in\left[0;6\sqrt{2}\right]$
Do $f^{\prime}(t){<}0$ với mọi $t\in\left[0;6\sqrt{2}\right]$ nên $\min f(t)=f\left(6\sqrt{2}\right)\approx 44,3$
Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\\ x=y\\ x+y=6\sqrt{2}\\ z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\\ x=y=3\sqrt{2}\\ z=0\end{array}\right.\Rightarrow M\left(3\sqrt{2};3\sqrt{2};0\right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ theo đơn vị nghìn km là $44$.