[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1;0;0} \right)\) và \(B\left( {1;1;3} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 6z + 7 = 0\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 6z + 7 = 0\). Xét hai điểm \(M\), \(N\) là hai điểm bất kì thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1;0;0} \right)\) và \(B\left( {1;1;3} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 6z + 7 = 0\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 6z + 7 = 0\). Xét hai điểm \(M\), \(N\) là hai điểm bất kì thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

A. \(\sqrt {18 + 2\sqrt {10} } \).

B. \(\sqrt {18 – 4\sqrt {10} } \).

C. \(18 – 2\sqrt {10} \).

D. \(18 + 2\sqrt {10} \).

Lời giải:

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) nên từ hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 6z + 7 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 6z + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow – 2x = 0\)\( \Rightarrow \left( P \right)\) trùng với \(\left( {Oyz} \right)\).

Gọi \(C\) và \(D\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên \(\left( P \right)\)hay \(\left( {Oyz} \right)\) suy ra \(C\left( {0;0;0} \right)\) và \(D\left( {0;1;3} \right)\) . Kết hợp giả thiết, ta tính được \(AC = 1\), \(BD = 1\), \(CD = \sqrt {10} \), \(AM = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} \); \(BN = \sqrt {B{D^2} + D{N^2}} \).

Do đó: \(AM + BN = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} + \sqrt {B{D^2} + D{N^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {AC + BD} \right)}^2} + {{\left( {CM + DN} \right)}^2}} \) ( BĐT Bu nhiacopxki).

Mặt khác: \(CM + DN + MN \ge CD\)\( \Rightarrow CM + DN \ge CD – MN = \sqrt {10} – 2\).

Suy ra \(AM + BN \ge \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {CM + DN} \right)}^2}} \ge \sqrt {4 + {{\left( {\sqrt {10} – 2} \right)}^2}} = \sqrt {18 – 4\sqrt {10} } \).

Vậy \(AM + BN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {10 – 4\sqrt {10} } \), dấu xảy ra khi \(C,M,N,D\) theo thứ tự thẳng hàng.

===========

Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024