[4] Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 3\). Xét khối trụ \(\left( T \right)\) có trục song song với trục \(Ox\) và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất, giả sử phương trình các mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) là \(x + by + cz + d = 0\) và \(x + by + cz + d’ = 0\) \(\left( {d > d’} \right)\). Giá trị của \(2d – d’\) bằng

A. \(6\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(2; – 1;3)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \) .

Giả sử khối trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) (\(0 < r < R,\,0 < h < 2R\)), ta có \({R^2} = \frac{{{h^2}}}{4} + {r^2}\).

Thể tích khối trụ \(\left( T \right)\) là \(V = \pi {r^2}h = \pi \left( {{R^2} – \frac{{{h^2}}}{4}} \right)h = \pi \left[ {{R^2}h – \frac{{{h^3}}}{4}} \right] = \pi \left( {3h – \frac{{{h^3}}}{4}} \right)\),

Đặt \(f\left( h \right) = \pi \left( {3h – \frac{{{h^3}}}{4}} \right),\,\,\left( {0 < h < 2\sqrt 3 } \right)\), khi đó \(f’\left( h \right) = \pi \left( {3 – \frac{3}{4}{h^2}} \right)\,,\,\,f’\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow h = 2\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy khối trụ \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất khi \(h = 2\).

Giả sử khối trụ có tâm hai đáy là \({O_1}\) và \({O_2}\)khi đó \({O_1}{O_2} = 2\). Vì tâm mặt cầu là trung điểm \({O_1}{O_2}\) nên \(I{O_1} = I{O_2} = 1\). Theo giả thiết ta có \({O_1}{O_2}//Ox\) nên \(\overrightarrow {I{O_1}} = \pm \overrightarrow i \), ta có thể giả sử \(\overrightarrow {I{O_1}} = \overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {I{O_2}} = – \overrightarrow i = \left( { – 1;0;0} \right)\).

Mà \(I(2; – 1;3)\) nên \({O_1} = \left( {3; – 1;3} \right)\) và \({O_2} = \left( {1; – 1;3} \right)\).

Ta có hai mặt phẳng đáy của khối trụ có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và lần lượt đi qua \({O_1}\) và \({O_2}\) nên có phương trình lần lượt là \(x – 3 = 0\) và \(x – 1 = 0\) do đó \(2d – d’ = 2.\left( { – 1} \right) – \left( { – 3} \right) = 1\).