4] Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2}\,;\,\frac{{7 – \sqrt 3 }}{2}\,;\,3} \right)\,,\,B\left( {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{2}\,;\,\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2}\,;\,3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\,:{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 6\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\,\,,\,\)\(\left( {a\,,\,b\,,\,c\,,\,d \in \mathbb{Z}\,:d < – 5} \right)\) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \(A\,,\,B\). Gọi \(\left( N \right)\) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\). Tính giá trị của \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\) khi thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích lớn nhất.

A. \(4\).

B. \(6\).

C. \(8\).

D. \(10\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3\,} \right)\,,\,R = \sqrt 6 \).

Có \(IA = IB = \sqrt 6 \) nên \(A\,,\,B\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 \,;\,0} \right) = – \sqrt 3 \left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\,;\,M\left( {\frac{5}{2}\,;\,\frac{7}{2}\,;\,3} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

Gọi \(\overrightarrow m = \left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = – \sqrt 3 .\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n = \left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) .

Vì \(A\,,\,B \in \left( P \right)\) nên có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\\overrightarrow m \,.\,\overrightarrow n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{2}a + \frac{7}{2}b + 3c + d = 0\\a – b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = – 6a – 3c\\a = b\end{array} \right.\)

Gọi \(h = d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)\,,\,\left( C \right) = \left( P \right) \cap \left( S \right)\), \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(r = \sqrt {{R^2} – {h^2}} = \sqrt {6 – {h^2}} \).

Diện tích thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\).

\(S = \frac{1}{2}.h.2r = h.\sqrt {6 – {h^2}} \le \frac{{{h^2} + 6 – {h^2}}}{2} = 3\).

\(Max\,S = 3\) khi \({h^2} = 6 – {h^2} \Rightarrow h = \sqrt 3 \).

\(h = d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{\left| {a + 2b + 3c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = c\\a = – c\end{array} \right.\) .

Nếu \(a = c\) thì \(b = a\,;\,d = – 9a\) và \(\left( P \right):ax + ay + az – 9a = 0 \Leftrightarrow x + y + z – 9 = 0\) (nhận).

Nếu \(a = – c\) thì \(b = a\,;\,d = – 3a\) và \(\left( P \right):ax + ay – az – 3a = 0 \Leftrightarrow x + y – z – 3 = 0\) (loại).

Vậy \(T = \left| {a + b + c + d} \right| = 6\).