[Mức độ 4] Xét các số thực thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2{x^2} + {y^2} + 2x – 3\) bằng

A. \(7\).

B. \(10\).

C. \(9\).

D. \(\frac{{17}}{2}\).

Lời giải:

– Ta có: \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} – 2x + 2\)

Đặt \(t = {x^2} + {y^2} – 2x + 1\). Ta được: \({2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} – t – 1 \le 0\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy f(t) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 1

Suy ra: \(0 \le {x^2} + {y^2} – 2x + 1 \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \ge 0\,\\{y^2} \le 2x – {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} \le 2x – {x^2}\)

\( \Rightarrow 2x – {x^2} \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 2\).

Ta có: \(P = 2{x^2} + {y^2} + 2x – 3 \le 2{x^2} + 2x – {x^2} + 2x – 3\)

\( = {x^2} + 4x – 3\)

– Xét \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x – 3,\,\,x \in \left[ {0;2} \right]\).

Có \(f’\left( x \right) = 2x + 4 > 0,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( 2 \right) = 9\)

Suy ra: \(P \le 9\). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x – {x^2}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(MaxP = 9.\)