[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} – 5x – 6\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { – {x^3} + 3x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,3} \right)\).

A. \(119\) .

B. \(120\) .

C. \(121\) .

D. \(122\) .

Lời giải:

Ta có:

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = – 1\end{array} \right.\)

\(g’\left( x \right) = \left( { – 3{x^2} + 3} \right).f’\left( { – {x^3} + 3x + m} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3{x^2} + 3 = 0\\ – {x^3} + 3x + m = 6\\ – {x^3} + 3x + m = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{(N)}}\\x = – 1\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{(L)}}\\{x^3} – 3x + 6 = m\\{x^3} – 3x – 1 = m\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của các hàm số \(y = {x^3} – 3x + 6\,,\,\,y = {x^3} – 3x – 1\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,3} \right)\):

\(m\) thỏa bài toán khi và chỉ khi phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có đúng ba nghiệm bậc lẻ trên khoảng \(\left( {0\,;\,3} \right)\).

Do đó \(\left[ \begin{array}{l}6 \le m < 17\\ – 3 < m < – 1\end{array} \right.\).

Các giá trị nguyên của \(m\) cần tìm là \( – 2,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,15,\,16\).

Vậy tổng tất cả các giá trị m thỏa bài toán là \(119\).