Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({3^{{x^4} + 1}} = 2\left( {3y – x} \right) + {3.3^{81{y^4}}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để biểu thức \(P = {x^2} + 3\left( {{m^2} – 2025} \right)y + 2023\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của tập \(S\) bằng
A. \(45\).
B. \(0\).
C. \(1035\).
D. \(990\).
Lời giải:
Ta có: \({3^{{x^4} + 1}} = 2\left( {3y – x} \right) + {3.3^{81{y^4}}} \Leftrightarrow {3.3^{{x^4}}} + 2x = {3.3^{81{y^4}}} + 2.3y \Leftrightarrow {3.3^{{x^4}}} + 2x = {3.3^{{{\left( {3y} \right)}^4}}} + 2.\left( {3y} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3.3^{{t^4}}} + 2{t_{}}\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f’\left( t \right) = 12\ln 3.{t^3}{.3^{{t^4}}} + 2 > {0_{}}\forall t > 0\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\)luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy: \({3.3^{{x^4}}} + 2x = {3.3^{{{\left( {3y} \right)}^4}}} + 2.\left( {3y} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow x = 3y\).
Khi đó: \(P = {x^2} + 3\left( {{m^2} – 2025} \right)y + 2023 = {x^2} + \left( {{m^2} – 2025} \right)x + 2023 = g\left( x \right)\).
Ta xét hàm số bậc hai \(g\left( x \right) = {x^2} + \left( {{m^2} – 2025} \right)x + 2023\)trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó: \(g’\left( x \right) = 2x + {m^2} – 2025 = 0 \Leftrightarrow 2x + {m^2} – 2025 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – {m^2} + 2025}}{2}\).
Để hàm \(g\left( x \right)\)có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(0 < \frac{{ – {m^2} + 2025}}{2} \Leftrightarrow {m^2} < 2025 \Leftrightarrow – 45 < m < 45\).
Khi đó: \(S = \left\{ {1;2;3;4;………;43;44} \right\}\).
Tổng các phần tử của\(S\) bằng \(1 + 2 + 3 + 4 + …… + 44 = \frac{{\left( {1 + 44} \right).44}}{2} = 990\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại một bình luận