Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y\). Khi biểu thức \(P = xy\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức \(T = 2024x – 2023y\).

Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y\). Khi biểu thức \(P = xy\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức \(T = 2024x – 2023y\).

A. \(T = 1\).

B. \(T = – 1\).

C. \(T = 2023\).

D. \(T = – 2023\).

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y\\ \Leftrightarrow \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} + 3(x + y + 1) = 9xy\\ \Leftrightarrow \ln (x + y + 1) – \ln (3xy) + 3(x + y + 1) = 9xy\\ \Leftrightarrow \ln (x + y + 1) + 3(x + y + 1) = \ln (3xy) + 3.3xy\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t) = \ln t + 3t,\,\,\forall t > 0\) có \(f'(t) = \frac{1}{t} + 3 > 3,\,\,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f(t)\) liên tục và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, từ (1) suy ra \(f(x + y + 1) = f(3xy) \Leftrightarrow \)\(x + y + 1 = 3xy\) \( \Leftrightarrow x(1 – 3y) + y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{y + 1}}{{3y – 1}}\,\,\,(2)\)

Khi đó: \(P = xy = \frac{{y + 1}}{{3y – 1}}.y = \frac{{{y^2} + y}}{{3y – 1}} = \frac{{{y^2} – 2y + 1 + 3y – 1}}{{3y – 1}} = \frac{{{y^2} – 2y + 1}}{{3y – 1}} + \frac{{3y – 1}}{{3y – 1}} = \frac{{{{(y – 1)}^2}}}{{3y – 1}} + 1 \ge 1,\,\,\forall y > 0.\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt được khi \(y = 1\). Thay vào (2), suy ra \(x = 1\).

Vậy \(T = 2024x – 2023y = 2024 – 2023 = 1\).

Chọn đáp án#A.

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024