Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(A(5;2;1),\,\,B(1;1; – 2)\). \(MN\) là dây cung của mặt cầu thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;2)\) và \(MN = 2\sqrt 5 \). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\).

A. \(\sqrt {34} \)

B. \(5\)

C. \(3\sqrt 2 \).

D. \(6\)

Lời giải:

Tâm \(I(2;1; – 2)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = (3;1;3) \Rightarrow IA = \sqrt {19} \)

nên điểm \(A(5;2;1)\)nằm ngoài mặt cầu \((S)\) và điểm \(B(1;1; – 2)\)nằm trong mặt cầu \((S)\).

Do \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\vec u = (0;1;2)\) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;k;2k} \right),\,k > 0\) do \(MN = 2\sqrt 5 \) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;2;4} \right)\).

Gọi \(A’ = {T_{\overrightarrow {MN} }}(A)\), suy ra \(A’ = (5;4;5)\). Khi đó \(AMNA’\) là hình bình hành nên \(AM = A’N\)

Ta có \(\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’N – BN} \right| \le A’B\), dấu bằng xảy ra khi \(A’,\,\,N,\,\,B\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(N\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng \(A’B\). (Điểm \(N\) luôn tồn tại).

suy ra \(A’B = \sqrt {{{(5 – 1)}^2} + {{(4 – 1)}^2} + {{(5 – 2)}^2}} = \sqrt {34} \).

Vậy \({\left| {AM – BN} \right|_{\min }} = A’B = \sqrt {34} \).