Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { – 11; – 7; – 4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):6x + 2y + 3z – 55 = 0\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA\) luôn tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại trung điểm \(K\) của đoạn \(MA\) và độ dài \(MH = 7\sqrt 3 \), biết mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) đi qua \(H\). Tính \(a + b + c\).

A. \(0\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(4\).

Lời giải:

Ta có đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 11 + 6t\\y = – 7 + 2t\\z = – 4 + 3t\end{array} \right.,\forall t \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(H = d \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow H\left( {7; – 1;5} \right)\), \(AH = d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 21\).

Xét tam giác \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) ta có: \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{{21}^2} + {{\left( {7\sqrt 3 } \right)}^2}} = 14\sqrt 3 \).

Vì \(M \in \left( \alpha \right)\) và \(MH = 7\sqrt 3 \) nên tập hợp điểm \(M\) thuộc đường tròn tâm \(H\) có đường kính bằng \(14\sqrt 3 \). Vậy ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) nội tiếp hình nón khi quay tam giác \(AHM\) quanh trục \(AH\). Khi đó tâm \(I\) trùng với trọng tâm \(\Delta AMM’\).

Vậy ta có \(\overrightarrow {AH} = 3\overrightarrow {IH} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3a + 21 = 18\\ – 3b – 3 = 6\\ – 3c + 15 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 3\\c = 2\end{array} \right.\).

Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 3;2} \right)\) suy ra \(a + b + c = 1 + ( – 3) + 2 = 0\).