Trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right)\). Biết các đường thẳng đi qua \(A\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) đều nằm trên một một mặt nón đỉnh \(A\). Khi đó thể tích khối nón đỉnh \(A\) và có đường tròn đáy được tạo ra bởi các tiếp điểm của đường thẳng qua \(A\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) là

A. \(V = \frac{{588}}{{125}}\pi \)

B. \(V = \frac{{58\sqrt {21} }}{{125}}\pi \)

C. \(V = \frac{{249\sqrt {21} }}{{125}}\pi \)

D. \(V = \frac{{50}}{3}\pi \)

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 2; – 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {4;3;0} \right)\)\( \Rightarrow IA = 5\).

Gọi \(B\) là \(1\) tiếp điểm của đường thẳng qua \(A\) với mặt cầu, khi đó \(\Delta IAB\) vuông tại \(B\), \(BI = R = 2\), \(AI = 5\). Khi đó đường sinh của hình nón là \(AB = \sqrt {I{A^2} – I{B^2}} = \sqrt {{5^2} – {2^2}} = \sqrt {21} \).

Bán kính đường tròn đáy là đường cao \(BH\) của tam giác \(ABI \Rightarrow r = HB = \frac{{BA.BI}}{{\sqrt {B{A^2} + B{I^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{5}\).

Khi đó chiều cao của hình nón là \(AH = \sqrt {B{A^2} – H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {21} } \right)}^2} – {{\left( {\frac{{2\sqrt {21} }}{5}} \right)}^2}} = \frac{{21}}{5}\).

Vậy thể tích khối nón cần tìm là:\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{{2\sqrt {21} }}{5}} \right)^2}.\frac{{21}}{5} = \frac{{588}}{{125}}\pi \).