Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y + 4)^2} + {(z – 6)^2} = 45\), mặt phẳng \((P):2x + 2y – z + 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = z – 2\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong \((P)\), vuông góc với \(d\) và cắt \((S)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất. Hỏi \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. \(\left( { – 2\,;\,4\,;\,1} \right)\).

B. \(\left( { – 1\,;\,3\,;\,7} \right)\).

C. \(\left( {0\,;\,2\,;\,5} \right)\).

D. \(\left( {1\,;\, – 2\,;\,4} \right)\).

Lời giải:

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1\,;\, – 4\,;\,6)\) và bán kính \(R = 3\sqrt 5 \).

Khi đó \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {2.1 + 2.( – 4) – 6 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} }} = 3 < R\) nên mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(\left\{ {A,B} \right\} = \Delta \cap (S)\).

Ta có: \(\frac{{AB}}{2} = \sqrt {{R^2} – {d^2}(I,\Delta )} \). Do đó dây cung \(AB\) có độ dài lớn nhất \( \Leftrightarrow \) \(d(I,\Delta )\) có độ dài nhỏ nhất hay đường thẳng \(\Delta \) là đường thằng chứa đường kính của đường tròn giao tuyến.

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến mặt phẳng \((P)\).

Đường thẳng \(IH\) đi qua \(I(1\,;\, – 4\,;\,6)\) và có VTCP \({\overrightarrow u _{_{_\Delta }}} = {\overrightarrow n _{_{_{(P)}}}} = (2\,;\,2\,;\, – 1)\) có phương trình tham số là:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = – 4 + 2t\\z = 6 – t\end{array} \right.\).

\(H \in IH\)\( \Rightarrow H(1 + 2t\,;\, – 4 + 2t\,;\,6 – t)\).

\(H = IH \cap (P)\)\( \Rightarrow 2(1 + 2t) + 2( – 4 + 2t) – (6 – t) + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 1\)\( \Rightarrow H(3\,;\, – 2\,;\,5)\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot d\\\Delta \subset (P)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{_\Delta }}} \bot {\overrightarrow u _{_{_d}}}\\{\overrightarrow u _{_{_\Delta }}} \bot {\overrightarrow n _{_{_{(P)}}}}\end{array} \right.\). Ta chọn VTCP \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left[ {{{\overrightarrow u }_{_{_d}}}\,,{{\overrightarrow {\,n} }_{_{(P)}}}} \right] = \left( {4\,;\, – 5\,;\, – 2} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(H(3\,;\, – 2\,;\,5)\) và có VTCP \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left( {4\,;\, – 5\,;\, – 2} \right)\) có phương trình chính tắc là:

\(\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ – 5}} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}\).

Vậy \(\Delta \) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { – 1\,;\,3\,;\,7} \right)\).