[Mức độ 3] Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD\,.\,A’B’C’D’\) tâm \(I\), có điểm \(C\left( {3\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\) và điểm \(A’\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu nội tiếp hình lập phương. Biết tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\) trên đoạn \(IC\) có phương trình \(\left( P \right):ax + by + cz + 6 = 0\). Tính tích \(abc\).
A. \( – 3\sqrt 3 \).
B. \(1\).
C. \( – 1\).
D. \(0\).
Lời giải:
Gọi \(m\) là cạnh của hình lập phương \(ABCD\,.\,A’B’C’D’\). Ta có \(A’C = 4\sqrt 3 \) và \(A’C\) là đường chéo của hình lập phương nên: \(A’C = m\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow m = 4\).
Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) nội tiếp hình lập phương \(ABCD\,.\,A’B’C’D’\) có tâm \(I\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\) là trung điểm của cạnh \(A’C\) và bán kính \(R = \frac{m}{2} = 2\).
Tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\) trên đoạn \(IC\) cho ta hai kết luận:
+ \(\overrightarrow {A’C} = \left( {4\,;\, – 4\,;\, – 4} \right)\) là một VTPT của tiếp diện.
+ \(\overrightarrow {IC} = \sqrt 3 \overrightarrow {IM} \) (vì \(M \in IC\) mà \(IC = 2\sqrt 3 \), \(IM = R = 2\)).
Ta có: \(\overrightarrow {IC} = \left( {2\,;\, – 2\,;\, – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_M} – 1\,;\,{y_M}\,;\,{z_M} – 1} \right)\) nên điểm \(M\left( {\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}\,;\,\frac{{ – 2\sqrt 3 }}{3}\,;\,\frac{{3 – 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Tiếp diện \(\left( P \right)\) cũng có một VTPT \(\overrightarrow {\,n\,} = \left( {1\,;\, – 1\,;\, – 1} \right)\) nên \(\left( P \right):x – y – z + d = 0\).
Điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) nên \(d = – 2\sqrt 3 \). Suy ra \(\left( P \right):x – y – z – 2\sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow – \sqrt 3 x + \sqrt 3 y + \sqrt 3 z + 6 = 0\).
Vậy \(a = – \sqrt 3 \); \(b = \sqrt 3 \); \(c = \sqrt 3 \) nên tích \(abc = – 3\sqrt 3 \).
Chọn đáp ánA.
===========
Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại một bình luận