Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 16}}{{27}}} \right)\) sao cho phương trình

\({4.4^{{x^2} + 2x}} + \left( {12m – 12} \right){6^{{x^2} + 2x}} – \left( {54m + 27} \right){3^{2{x^2} + 4x}} = 0\) có hai nghiệm nguyên . Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 16}}{{27}}} \right)\) sao cho phương trình

\({4.4^{{x^2} + 2x}} + \left( {12m – 12} \right){6^{{x^2} + 2x}} – \left( {54m + 27} \right){3^{2{x^2} + 4x}} = 0\) có hai nghiệm nguyên . Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng

A.\(\frac{{ – 115}}{{81}}\) .

B. \(\frac{{ – 96}}{{81}}\).

C. \(\frac{{ – 116}}{{81}}\).

D. \(\frac{{ – 105}}{{81}}\).

Lời giải:

\({4.4^{{x^2} + 2x}} + \left( {12m – 12} \right){6^{{x^2} + 2x}} – \left( {54m + 27} \right){3^{2{x^2} + 4x}} = 0\,\,(1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^{{x^2} + 2x + 1}} + \left( {2m – 2} \right){6^{{x^2} + 2x + 1}} – \left( {6m + 3} \right){9^{{x^2} + 2x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{{x^2} + 2x + 1}} + \left( {2m – 2} \right){\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} + 2x + 1}} – \left( {6m + 3} \right) = 0{\rm{ }}(2)\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} + 2x + 1}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{(x + 1)}^2}}} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^0} = 1\). Suy ra \(0 < t \le 1\)

Phương trình trở thành : \({t^2} + (2m – 2)t – 6m – 3 = 0{\rm{ }}\)

Ta có: \({t^2} + (2m – 2)t – 6m – 3 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,(loa\”i i)\\t = – 2m – 1\end{array} \right.\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(x\) phân biệt

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({t^2} + (2m – 2)t – 6m – 3 = 0\) có đúng một nghiệm \(t\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)\(0 < – 2m – 1 < 1\)

\( \Leftrightarrow – 1 < m < \frac{{ – 1}}{2}\).

Kết hợp với điều kiện \(m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 16}}{{27}}} \right)\) suy ra \(m \in \left( { – 1;\frac{{ – 16}}{{27}}} \right)\)

Khi đó phương trình có hai nghiệm nguyên khi \(\left( { – 2m – 1} \right) \in \left\{ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^1};{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4},{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^9},…} \right\}\)

Trường hợp 1: \( – 2m – 1 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ – 5}}{6}\)

Trường hợp 2: \( – 2m – 1 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} \Leftrightarrow m = \frac{{ – 97}}{{162}}\)

Trường hợp 3: \( – 2m – 1 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^9} \Leftrightarrow m = \frac{{ – 20395}}{{39766}}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\): \(\frac{{ – 5}}{6} + \frac{{ – 97}}{{162}} = \frac{{ – 116}}{{81}}\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.