Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng

Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng

A. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} – 2021}}{{2020}}\).

B. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + 2020}}{{2021}}\).

C. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} + 2021}}{{2020}}\).

D. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} – 2020}}{{2021}}\).

Lời giải:

\(I = \int {\frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} \)

Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right){\rm{d}}x\)\( \Leftrightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Suy ra: \(I = \int {\frac{{{t^{2021}}}}{t}{\rm{d}}t = } \int {{t^{2020}}{\rm{d}}t = } \frac{{{t^{2021}}}}{{2021}} + C\)\( = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{2021}} + C\)\( = F\left( x \right)\).

\(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow C = \frac{{2020}}{{2021}}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}} + 2020}}{{2021}}\).

Vậy \(F\left( 1 \right) = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + 2020}}{{2021}}\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.