Câu hỏi:
(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\;x + y – 2z – 2 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\;\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{1} \cdot \) Đường thẳng \(\Delta ‘\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta \) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:
A. \(\frac{{x + 8}}{3} = \frac{{y – 6}}{5} = \frac{{z + 2}}{4}\).
B. \(\frac{{x + 8}}{3} = \frac{{y – 6}}{{ – 5}} = \frac{{z + 2}}{4}\).
C. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y – 1}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
D. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y – 1}}{5} = \frac{{z + 1}}{1}\).
Lời giải:
Chọn C
Ta có \(\left( \alpha \right):\;x + y – 2z – 2 = 0 \Rightarrow {\vec n_\alpha } = \left( {1\,;\,1\,;\, – 2} \right)\).
\(\Delta :\;\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{1} \cdot \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left( {2\,;\, – 2\,;\,1} \right)\).
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( \alpha \right) \Rightarrow {\vec n_\beta } = \left[ {{{\vec n}_\alpha },\,{{\vec u}_\Delta }} \right] = \left( { – 3\,;\, – 5\,;\, – 4} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta ‘\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta \) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có VTCP:
\({\vec u_{\Delta ‘}} = \left[ {{{\vec n}_\beta },\,{{\vec n}_\alpha }} \right] = \left( {14\,;\, – 10\,;\,2} \right)\). Chọn VTCP của \(\Delta ‘\) là \(\vec u = \left( {7; – 5;1} \right)\).
Gọi \(M = \Delta \cap \left( \alpha \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{1}}\\{x + y – 2z – 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 8}\\{y = 6\;\;}\\{z = – 2}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( { – 8\,;\,6\,;\, – 2} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua \(M\left( { – 8\,;\,6\,;\, – 2} \right)\) và có VTCP \(\vec u = \left( {7\,;\, – 5\,;\,1} \right)\) phương trình dạng tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 8 + 7t}\\{y = 6 – 5t\;\;}\\{z = – 2 + t}\end{array}} \right.\). Với \(t = 1 \Rightarrow I\left( { – 1\,;\,1\,;\, – 1} \right) \in \Delta ‘\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta ‘\) dạng: \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y – 1}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC