(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và \(B\left( {2; – 3; – 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) có dạng \(\sqrt {a – b\sqrt c } \) (\(a,b,c \in \mathbb{N}\) và \(c\) là số nguyên tố). Tính \(a + b + c\)
A. \(80\).
B. \(93\).
C. \(89\).
D. \(90\).
Lời giải:
Chọn B
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) nên thỏa mãn hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y + 6z – 14 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 6z = 0 \Leftrightarrow z = 0\). Vậy \(\left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\).
Nhận thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía với nhau so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi \(A’\left( {0;0;0} \right)\) và \(B’\left( {2; – 3;0} \right)\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên \(\left( P \right)\).
Suy ra: \(AA’ = 3\), \(BB’ = 5\), \(A’B’ = \sqrt {13} \).
Lại có: \(AM + BN = \sqrt {A{{A’}^2} + A'{M^2}} + \sqrt {B{{B’}^2} + B'{N^2}} \ge \sqrt {{{\left( {AA’ + BB’} \right)}^2} + {{\left( {A’M + B’N} \right)}^2}} \)
Mặt khác \(A’M + MN + B’N \ge A’B’ \Leftrightarrow A’M + B’N \ge A’B’ – MN = \sqrt {13} – 1\).
Suy ra \(AM + BN \ge \sqrt {{{\left( {3 + 5} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {13} – 1} \right)}^2}} = \sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).
Vậy \(a = 78\), \(b = 2\), \(c = 13\). Vậy \(a + b + c = 93\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời