Câu hỏi:
(Chuyên Vinh – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 12y + 6z + 24 = 0\). Hai điểm \(M\), \(N\) thuộc \((S)\) sao cho \(MN = 8\) và \(O{M^2} – O{N^2} = – 112\). Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(MN\) bằng
A. 4.
B. \(3.\)
C. \(2\sqrt 3 \).
D. \(\sqrt 3 \).
Lời giải:
Chon B
Phương trình mặt cầu \((S)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 12y + 6z + 24 = 0;\) ta có \(I(2; – 6; – 3),R = 5\) và \(OI = 7\).
\(\begin{array}{l}O{M^2} – O{N^2} = {(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} )^2} – {(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IN} )^2} = 2\overrightarrow {OI} (\overrightarrow {IM} – \overrightarrow {IN} ) = 2\overrightarrow {OI} \overrightarrow {MN} \\ = 2 \cdot OIMN \cdot \cos (\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {MN} ) = 112 \cdot \cos (\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {MN} ).\end{array}\)\(\)
Khi đó \(O{M^2} – O{N^2} = – 112 \Leftrightarrow \cos (\overline {OI} ,\overline {MN} ) = – 1\).
Suy ra \(\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {MN} \) ngược hướng hay \(OI//MN\) (vì \(O \notin MN\)).
Vậy \(d(O,MN) = d(I,MN) = \sqrt {{R^2} – {{\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)}^2}} = 3\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời