A. \(\frac{{27}}{{10}}\).
B. \(\frac{{26}}{9}\).
C. \(3\).
D. \(\frac{{30}}{{11}}\).
Lời giải
Gắn hệ trục như hình vẽ. Ta tính được \(OA = OB = \sqrt 2 \).
Gọi phương trình của đường \(a\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\left( {a < 0} \right)\).
Ta có \(a\) đi qua các điểm \(A\left( { – \sqrt 2 ;0} \right),B\left( {\sqrt 2 ;0} \right),S\left( {0;\frac{{27}}{{20}}} \right)\).
Suy ra ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2a – \sqrt 2 b + c = 0\\2a + \sqrt 2 b + c = 0\\c = \frac{{27}}{{20}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{27}}{{40}}\\b = 0\\c = \frac{{27}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow y = – \frac{{27}}{{40}}{x^2} + \frac{{27}}{{20}}\).
Gọi \(I\left( {0;y} \right);y \in \left[ {0;\frac{{27}}{{20}}} \right)\).
Mặt phẳng vuông góc \(Oy\) tại \(I\) cắt hình đã cho theo 1 thiết diện là hình vuông \(MNPQ\) có diện tích \(S\left( y \right)\).
Theo giả thiết trên các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q\) cùng có tung độ bằng \(y\). Mà hai điểm \(M,\,P\) thuộc đường \(a\) có phương trình \(y = – \frac{{27}}{{40}}{x^2} + \frac{{27}}{{20}}\).
Suy ra \({x^2} = \frac{{54 – 40y}}{{27}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow M\left( { – \frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }};y} \right),P\left( {\frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }};y} \right)\).
\( \Rightarrow MP = \frac{{2\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt {108 – 80y} }}{{3\sqrt 3 }}\).
\( \Rightarrow S\left( y \right) = M{N^2} = \frac{{108 – 80y}}{{27}}\).
Suy ra thể tích chiếc lều là \(V = \int\limits_0^{\frac{{27}}{{20}}} {S\left( y \right){\rm{d}}y} = \int\limits_0^{\frac{{27}}{{20}}} {\frac{{108 – 80y}}{{27}}} .{\rm{d}}y = \frac{{27}}{{10}}\,\,\left( {{m^3}} \right)\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời