Cho hai số thực \(a\), \(b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{8}{{{{\log }_{\sqrt {ab} }}b}}\) bằng:

Câu hỏi:
Cho hai số thực \(a\), \(b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{8}{{{{\log }_{\sqrt {ab} }}b}}\) bằng:

A. \(\frac{{17}}{2}\). 

B. \(\frac{9}{4}\). 

C. \(9\). 

D. \(7\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(P = {\log _a}(ab) + 4{\log _b}(ab) = 1 + {\log _a}b + 4\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) = {\log _a}b + \frac{4}{{{{\log }_a}b}} + 5\)

Vì \(a > 1,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(P \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{4}{{{{\log }_a}b}}}+ 5 = 4 + 5 = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi \({\log _a}b = \frac{4}{{{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b =- 2(ktm)\\{\log _a}b = 2(tm)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit