CÂU HỎI: Cho \(0 \le x,\,y \le 1\) thỏa mãn \({2019^{1 – x – y}} = \frac{{{x^2} + 2020}}{{{y^2} – 2y + 2021}}.\) Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}\) . Khi đó \(M + m\) bằng

Câu hỏi:
CÂU HỎI: Cho \(0 \le x,\,y \le 1\) thỏa mãn \({2019^{1 – x – y}} = \frac{{{x^2} + 2020}}{{{y^2} – 2y + 2021}}.\) Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}\) . Khi đó \(M + m\) bằng

A. \(\frac{4}{3}\). 

B. \(\frac{2}{3}\). 

C. \(\frac{5}{3}\). 

D. \(\frac{7}{4}\).

Lời giải

Ta có \({2019^{1 – x – y}} = \frac{{{x^2} + 2020}}{{{y^2} – 2y + 2021}} \Leftrightarrow \frac{{{{2019}^{1 – y}}}}{{{{2019}^x}}} = \frac{{{x^2} + 2020}}{{{{\left( {1 – y} \right)}^2} + 2020}}\)

\({2019^x}\left( {{x^2} + 2020} \right) = {2019^{1 – y}}\left[ {{{\left( {1 – y} \right)}^2} + 2020} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {1 – y} \right)\)

Với hàm số\(f\left( t \right) = {2019^t}\left( {{t^2} + 2020} \right) = {t^2}{.2019^t} + {2020.2019^t}\)

\(f’\left( t \right) = 2t{.2019^t} + {t^2}{.2019^t}.\ln 2019 + {2020.2019^t}.\ln 2019 > 0;\forall t \ge 0\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) mà \(f\left( x \right) = f\left( {1 – y} \right) \Rightarrow x + y = 1\)

Lại có \(P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + {y^2} + y}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy + 1}}{{xy + 2}} = \frac{{2 – 2xy}}{{xy + 2}}\)

Mà \(1 = x + y \ge 2\sqrt {xy}\Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\) nên đặt \(t = xy \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\) khi đó \(P = g\left( t \right) = \frac{{2 – 2t}}{{t + 2}}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{2 – 2t}}{{t + 2}}\) trên \(\left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\) ta được \(g’\left( t \right) = \frac{{ – 6}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} < 0\forall t \ne- 2\)

Nên hàm số \(g\left( t \right)\)nghịch biến trên \(\left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\)

Do đó \(\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} \right]} g\left( t \right) = g\left( 0 \right) = 1;\mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} \right]} g\left( t \right) = g\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow M = 1;m = \frac{2}{3}\). 

Suy ra \(M + m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit