Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\left( {x + y} \right).\,{3^{3xy + x + y}} – 81 + 81xy = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3{y^2}x + xy\).

Câu hỏi:
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\left( {x + y} \right).\,{3^{3xy + x + y}} – 81 + 81xy = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3{y^2}x + xy\).

A. \(\frac{3}{2}\). 

B. \(\frac{3}{4}\). 

C. \(\frac{4}{3}\). 

D. \(\frac{9}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\left( {x + y} \right){.3^{3xy + x + y}} – 81 + 81xy = 0 \Leftrightarrow {3^{3xy + x + y}} = \frac{{81 – 81xy}}{{x + y}}\,\,\left( * \right)\). Vì \(x,y > 0 \Rightarrow xy < 1\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{3xy + x + y}}} \right) = {\log _3}\left( {\frac{{81 – 81xy}}{{x + y}}} \right) \Leftrightarrow 3xy + x + y = {\log _3}27\left( {3 – 3xy} \right) – {\log _3}\left( {x + y} \right)\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + x + y = {\log _3}\left( {3 – 3xy} \right) + 3 – 3xy\,\,\,\left( {**} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,,\,\forall t > 0\). 

\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). 

Phương trình \(\left( {**} \right)\) tương đương với \(f\left( {x + y} \right) = f\left( {3 – 3xy} \right) \Leftrightarrow x + y = 3 – 3xy \Leftrightarrow x = \frac{{3 – y}}{{1 + 3y}}.\)

Thay \(x = \frac{{3 – y}}{{1 + 3y}}\) vào biểu thức \(P\) ta được:

\(\begin{array}{l}P = 3{y^2}x + xy = xy\left( {1 + 3y} \right) = \frac{{3 – y}}{{1 + 3y}}.y.\left( {1 + 3y} \right)\\ =- {y^2} + 3y =- \left( {{y^2} – 3y + \frac{9}{4}} \right) + \frac{9}{4} =- {\left( {y – \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}.\end{array}\)

Dấu \(” = ”\) xảy ra khi \(y = \frac{3}{2}\), \(x = \frac{3}{{11}}\).

Vậy giá trị lớn nhấtcủa \(P\) bằng \(\frac{9}{4}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit