Các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)}^2}}} = {x^2} + {y^2} – 3\left( {x + y} \right) + xy\). Biểu thức \(S = {x^2} + {y^2}\) có giá trị lớn nhất bằng 

Câu hỏi:
Các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)}^2}}} = {x^2} + {y^2} – 3\left( {x + y} \right) + xy\). Biểu thức \(S = {x^2} + {y^2}\) có giá trị lớn nhất bằng 

A. \(6\). 

B. \(3\). 

C. \(4\). 

D. \(5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có:

\({\log _3}\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)}^2}}} = {x^2} + {y^2} – 3\left( {x + y} \right) + xy\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)}^2}}} = {x^2} + {y^2} – 3\left( {x + y} \right) + xy\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = {x^2} + {y^2} – 3\left( {x + y} \right) + xy\) 

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{{\log }_3}\left( {x + y} \right) – {{\log }_3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)} \right] = {x^2} + {y^2} + xy – 3\left( {x + y} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) + 2{\log _3}\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) + 2{\log _3}\left( {x + y} \right) + 2 = {x^2} + {y^2} + xy + 2 + 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) + 2{\log _3}\left( {x + y} \right) + 2{\log _3}3 = {x^2} + {y^2} + xy + 2 + 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) + 2{\log _3}3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2 + 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right). & \left( 1 \right)\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + 2{\log _3}t\), \(t > 0\) thì \(\left( 1 \right)\) có dạng: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\).

Đạo hàm \(f’\left( t \right) = 1 + \frac{2}{{t.\ln 3}} > 0,\,\,\forall t > 0\) suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).

Do đó: 

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2 \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {(x + y)^2} – xy + 2\)\( \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} – 3\left( {x + y} \right) + 2\).

Nên ta có \(S = {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = {\left( {x + y} \right)^2} – 2{\left( {x + y} \right)^2} + 6\left( {x + y} \right) – 4\) 

\( =- {\left( {x + y} \right)^2} + 6\left( {x + y} \right) – 4 = 5 – {\left( {x + y – 3} \right)^2} \le 5\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,;\,y = 2\\x = 2\,;\,y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\max S = 5\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit