Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy là hình thoi cạnh\(AB = a\)và\(\mathop {ABC}\limits^\langle = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc\(H\)của đỉnh\(S\)trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh\(AB\), góc giữa đường thẳng\(SC\)và mặt phẳng đáy bằng\({60^\circ }\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng\(SB\)và\(AC\)

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy là hình thoi cạnh\(AB = a\)và\(\mathop {ABC}\limits^\langle = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc\(H\)của đỉnh\(S\)trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh\(AB\), góc giữa đường thẳng\(SC\)và mặt phẳng đáy bằng\({60^\circ }\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng\(SB\)và\(AC\)

A. \(\frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}\).

B. \(\frac{1}{{2\sqrt {10} }}\).

C. \(\frac{{ – 1}}{{2\sqrt {10} }}\).

D. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

GY:

Cách 1

Ta có:\(\left( {\widehat {SC\,,\,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \)\(\left( {\widehat {SC\,,\,CH}} \right) = \)\(\widehat {SCH} = {60^\circ }\).

+\(\overrightarrow {SB}\cdot \overrightarrow {AC}= (\overrightarrow {SH}+ \overrightarrow {HB} ).\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {SH}.\overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {HB}.\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {HB}.\overrightarrow {AC}= AH \cdot AC \cdot \cos \,\widehat {HAC}\, = \frac{{{a^2}}}{4}\).

+\(AC = a\),\(CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),\(SH = CH \cdot \tan \widehat {SCH} = \frac{{3a}}{2}\).

+\(SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} \)\( = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}}= \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SB\,,\,AC} \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB}\cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{SB \cdot AC}}\)\( = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2} \cdot a}}\)\( = \frac{1}{{2\sqrt {10} }}\).

Cách 2

+ Chọn trục toạ độ\(Oxyz\), với\(H(0\,;\,0\,;\,0)\),\(A\left( {\frac{{ – a}}{2}\,;\,0\,;\,0} \right),B\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,0} \right),C\left( {0\,;\,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,0} \right)\).

+\(SH = CH \cdot \tan \widehat {SCH} = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow S\left( {0\,;\,0\,;\,\frac{{3a}}{2}} \right)\).

+\(\overrightarrow {SB} \left( {\frac{a}{2};0;\frac{{ – 3a}}{2}} \right)\),\(\overrightarrow {AC} \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

+ Ta có \(\cos \widehat {\left( {SB\,,\,AC} \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB}\cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{SB \cdot AC}}\)\( = \frac{{\left| {\frac{{{a^2}}}{4}} \right|}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}}.\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {10} }}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian