Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 2x + 2} \right)\) nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\).
B. \(\left( {1;2} \right)\).
C. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Đặt \(t = 3 – 2x\)
\(y = f\left( {3 – 2x} \right)\)\( \Rightarrow y’ = – 2f’\left( {3 – 2x} \right)\)
* Với \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le – 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3 – 2x \le – 1\\3 – 2x \ge 5\end{array} \right. \Rightarrow – 2.f\left( t \right) \ge 0 \Rightarrow f\left( t \right) \le 0\), với \(t \le – 1\) hoặc \(t \ge 5\)
* Với \( – 1 < x < 2 \Rightarrow – 1 < 3 – 2x < 5 \Rightarrow – 2.f\left( t \right) < 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\), với \(t \in \left( { – 1;5} \right)\)
\(\begin{array}{l}g’\left( x \right) = \left( {2x – 2} \right).f’\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x – 2 \ge 0\\f’\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x – 2 \le 0\\f’\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ – 1 \le {x^2} – 2x + 2 \le 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x + 2 \ge 5\\{x^2} – 2x + 2 \le – 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x \le – 1\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra hàm số ngịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\).
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC