Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0\) là

A. \(7\).

B. \(10\).

C. \(6\).

D. \(8\).

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

Ta có \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) =  – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_1} \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right)\,\,\,\,}\\{\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_2} \in \left( { – \sqrt 2 ;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_3} \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_4} \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 2 \right)}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 3 \right)}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 4 \right)}\end{array}}\end{array}\)

Các phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) đều vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\)

Ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình \(\left( 3 \right)\) có 6 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) vì \(x \in \left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) nên \(t \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

\(t’ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi  \Leftrightarrow x \in \left\{ { – \frac{{5\pi }}{4}; – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4};} \right\}\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0\) thành \(f\left( t \right) =  – 1\)

Ta có 

Dựa vào bảng biến thiên trên thì phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.