Câu hỏi:
Tìm tổng các giá trị của số thực \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) thỏa \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).
A. \(0\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \(6\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
TH1: \({z_0} \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2\\{z_0} = – 2\end{array} \right.\).
Nếu \({z_0} = 2\) thì \({a^2} – 2a + 10 = 0\) không có nghiệm thực \(a\).
Nếu \({z_0} = – 2\) thì \({a^2} – 2a – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 + \sqrt 3 \\a = 1 – \sqrt 3 \end{array} \right.\).
TH2: \({z_0} \notin \mathbb{R}\). Khi đó phương trình \({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) nên \(\overline {{z_0}} \) cũng là nghiệm phức của phương trình.
Vì \(\left| {{z_0}} \right| = 2\) nên \({z_0}.\overline {{z_0}} = {\left| {{z_0}} \right|^2} = 4\).
Theo định lý Vi-ét, ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = \frac{{{a^2} – 2a}}{1} = {a^2} – 2a\).
\( \Rightarrow {a^2} – 2a = 4 \Leftrightarrow {a^2} – 2a – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 + \sqrt 5 \\a = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Từvà, ta có tổng các giá trị của số thực \(a\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(1 + \sqrt 3 + 1 – \sqrt 3 + 1 + \sqrt 5 + 1 – \sqrt 5 = 4\).
=======
Trả lời