Cho lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = {60^0}\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD’} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = {60^0}\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD’} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {BAD} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\) và \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD \Rightarrow BD \bot AC\) tại \(O\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {ACD’} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {OD;OD’}} \right) = \widehat {DOD’} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \)Tam giác \(ODD’\) vuông cân tại \(D\), \(DD’ = OD = \frac{a}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

\(V = {S_{ABCD}}.DD’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

=======