Câu hỏi:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|z + i\sqrt 5 | + |z – i\sqrt 5 | = 6\) và \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)?
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(2\)
D. \(1\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R},{i^2} = – 1} \right)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|z + i\sqrt 5 | + |z – i\sqrt 5 | = 6}\\{|z| = \sqrt 5 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{a^2} + {{(b + \sqrt 5 )}^2}} + \sqrt {{a^2} + {{(b – \sqrt 5 )}^2}} = 6}\\{\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 }\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2\sqrt 5 b + 5} + \sqrt {{a^2} + {b^2} – 2\sqrt 5 b + 5} = 6\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {10 + 2\sqrt 5 b} + \sqrt {10 – 2\sqrt 5 b} = 6\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20 + 2\sqrt {100 – 20{b^2}} = 36\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {100 – 20{b^2}} = 8\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = \frac{{16}}{5}}\\{{b^2} = \frac{9}{5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \pm \frac{4}{{\sqrt 5 }}}\\{b = \pm \frac{3}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy có 4 số phức thỏa mãn.
=======
Trả lời