Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Lời giải

Ta có $(a-b)^2 \geq  0$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
         $\Leftrightarrow a^2+b^2-ab \geq  ab$  (nhân $2$ vế với $a+b >0$)
         $\Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab) \geq  ab(a+b)$
         $\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq  ab(a+b)$
         $\Leftrightarrow a^3+b^3+abc \geq  ab(a+b)+abc= ab(a+b+c)$
         $\Leftrightarrow \frac{1 }{ a^3+b^3+abc} \leq \frac{ 1}{ ab(a+b+c)}   (2)$ 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
Tương tự :  $\frac{ 1}{ b^3+c^3+abc} \leq \frac{1 }{bc(a+b+c) }   (3)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $b=c$
                   $\frac{ 1}{ c^3+ba^3+abc} \leq \frac{ 1}{ca(a+b+c) }   (4)$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=c$
Cộng vế với vế $(2), (3) , (4)$ ta được :
        $\frac{ 1}{ a^3+b^3+abc}+\frac{ 1}{ b^3+c^3+abc}+\frac{1 }{a^3+c^3+abc }  \leq \frac{ 1}{a+b+c } \left ( \frac{1 }{ ab} +\frac{ 1}{ac } +\frac{ 1}{bc}  \right ) \\= \frac{ 1}{ abc}  (5)$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta được $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức.. Tức là khi tam giác $ABC$  đều. Vậy $(1)$ đúng thì tam giác $ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác