495. Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)với\(a \ge 4,b \ge 5,c \ge 6\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(\frac{{3\sqrt {10} }}{2}\) ngoại tiếp tứ diện \(O.ABC\). Khi tổng \(OA + OB + OC\) đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)đi qua tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\)và song song với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\)có dạng \({\rm{mx}} + ny + pz + q = 0\) ( với \({\rm{m}}{\rm{,n}}{\rm{,p}}{\rm{,q}} \in \mathbb{Z}{\rm{;}}\frac{q}{p}\) là phân số tối giản). Giá trị \({\rm{T = m + n + p + q}}\) bằng

Câu hỏi:
495. Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)với\(a \ge 4,b \ge 5,c \ge 6\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(\frac{{3\sqrt {10} }}{2}\) ngoại tiếp tứ diện \(O.ABC\). Khi tổng \(OA + OB + OC\) đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)đi qua tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\)và song song với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\)có dạng \({\rm{mx}} + ny + pz + q = 0\) ( với \({\rm{m}}{\rm{,n}}{\rm{,p}}{\rm{,q}} \in \mathbb{Z}{\rm{;}}\frac{q}{p}\) là phân số tối giản). Giá trị \({\rm{T = m + n + p + q}}\) bằng

A. \(3\).

B. \(9\).

C. \(5\).

D. \( – 5\).

Lời giải

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(O.ABC\) là \(R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = \frac{{3\sqrt {10} }}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 90.\)

Ta có

\(P = OA + OB + OC = a + b + c\). Đặt \(x = a – 4 \ge 0,y = b – 5 \ge 0,z = c – 6 \ge 0.\)

Khi đó

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x + 10y + 12z + 77 = 90.\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x + 10y + 12z = 13.\)

\(T = {\left( {x + y + z} \right)^2} + 12\left( {x + y + z} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x + 10y + 12z + 2\left( {xy + yz + zx + 2x + y} \right).\)

Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x + 10y + 12z = 13\) và \(x,y,z \ge 0\)nên \({\left( {x + y + z} \right)^2} + 12\left( {x + y + z} \right) – 13 \ge 0.\)

\( \Leftrightarrow x + y + z \ge 1 \Leftrightarrow a – 4 + b – 5 + c – 7 \ge 1 \Leftrightarrow a + b + c \ge 16 \Rightarrow {\left\{ {OA + OB + OC} \right\}_{\min }} = 16.\)

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 4,b = 5,c = 7\).

Suy ra, \(A\left( {4;0;0} \right),B\left( {0;5;0} \right),C\left( {0;0;7} \right)\).

Gọi mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\)

Vì \(A\left( {4;0;0} \right),B\left( {0;5;0} \right),C\left( {0;0;7} \right),O\left( {0;0;0} \right)\)nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}16 – 8a + d = 0\\25 – 10b + d = 0\\47 – 14z + d = 0\\d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = \frac{5}{2}\\c = \frac{7}{2}\\d = 0\end{array} \right.\)

Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {2;\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).

Mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( \alpha \right):z + e = 0\).

Vì \(I\left( {2;\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nên \(\frac{7}{2} + e = 0 \Leftrightarrow e = – \frac{7}{2}\)

Suy ra, \(2z – 7 = 0 \Rightarrow m = 0;n = 0;p = 2;q = – 7\).

\({\rm{T = m + n + p + q = – 5}}\)

=======