B. \(\left( {\frac{{49}}{5}\,;\,\frac{7}{5}\,;\,0} \right)\).
C. \(\left( {5\,;\, – 5\,;\,0} \right)\).
D. \(\left( {\frac{7}{5}\,;\,\frac{{49}}{5}\,;\,0} \right)\).
Lời giải
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,4\,;\,4} \right)\); bán kính \(R = 5\).
Do \(d\left( {I\,;\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\) nên \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\); bán kính \(r = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = 3\).
Do \(OH = 5 > 3 = r\) nên điểm \(O\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm \(MN\)\( \Rightarrow \)\(MK = \sqrt 5 \) và \(HK \bot MN\)\( \Rightarrow \)\(HK = \sqrt {H{M^2} – M{K^2}} = 2\).
Ta có: \(d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right) = d\left( {A\,;\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 9\).
Dễ thấy \(d\left( {O\,;\,MN} \right) \le OK \le OH + HK = 7\).
\( \Rightarrow \)\({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right).{S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right).\frac{1}{2}d\left( {O\,;\,MN} \right).MN \le \frac{1}{3}.9.\frac{1}{2}.7.2\sqrt 5 = 21\sqrt 5 \).
Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \)\(O\); \(H\); \(K\) thẳng hàng với \(H\) nằm giữa \(O\) và \(K\)\( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {OK} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \).
Khi đó \(K\left( {\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}\,;\,0} \right)\) và \(MN \bot OH\).
\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(MN\) có một vector chỉ phương \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {4\,;\, – 3\,;\,0} \right)\).
Do đó phương trình đương thẳng \(MN\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{21}}{5} + 4t\\y = \frac{{28}}{5} – 3t\\z = 0\end{array} \right.\).
Dễ thấy đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(\left( {\frac{{49}}{5}\,;\,\frac{7}{5}\,;\,0} \right)\) (ứng với \(t = \frac{7}{5}\)).
=======
Trả lời