A. \(3\sqrt 5 \).
B. \(\sqrt {61} \).
C. \(\sqrt {13} \).
D. \(\sqrt {53} \).
Lời giải
Gọi \(A’\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Suy ra \(A’\left( {1; – 3;4} \right)\).
Dựng \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(B’\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(B\) và song song \(\left( {Oxy} \right)\).
Phương trình \(\left( Q \right):z = 2\). Và \(BB’ = 2\).
Suy ra \(B’\) thuộc đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 2\) trong \(\left( Q \right)\).
Ta có: \(\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’M – MB’} \right| \le A’B’.\) Trong đó \(A’;B’\) cùng phía so với \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A’\) trên \(\left( Q \right)\). Suy ra \(H\left( {1; – 3;2} \right)\).
Suy ra \(A’H = 2;HB’ \le HB + BB’ = 5 + 2 = 7\).
Khi đó \(A’B’ = \sqrt {A'{H^2} + HB{‘^2}} \le \sqrt {4 + 49} = \sqrt {53} \).
Dấu bằng xảy ra khi \(B\) nằm giữa \(B’\) và \(H\) và \(M = A’B’ \cap \left( {Oxy} \right)\) và \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {NM} \).
=======
Trả lời