Cho hàm số \(f\left( x \right) =  – {x^3} – x – \sin x\), có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x\,;y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{e^{x – y}} + x – y – 1} \right)\left( {f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) + f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)} \right) > 0\)? 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f\left( x \right) =  – {x^3} – x – \sin x\), có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x\,;y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{e^{x – y}} + x – y – 1} \right)\left( {f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) + f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)} \right) > 0\)? 

A. \(10\). 

B. \(26\). 

C. \(45\). 

D. \(36\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  – {x^3} – x – \sin x\). 

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). 

\(f’\left( x \right) =  – 3{x^2} – 1 – c{\rm{os}}\,x\, < 0\) nên hàm số nghịch biến trên tập xác định.

\(f\left( { – x} \right) =  – {\left( { – x} \right)^3} – \left( { – x} \right) – \sin \left( { – x} \right) = {x^3} + x + \sin x =  – \left( { – {x^3} – x – \sin x} \right) =  – f\left( x \right)\). 

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Xét bất phương trình \(\left( {{e^{x – y}} + x – y – 1} \right)\left( {f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) + f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)} \right) > 0\) có:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 10\\x – y > 0\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right.\). 

Xét hàm số \(y = {e^t} + t – 1\) với \(t > 0\). khi đó \(y’ = {e^t} + 1 > 0\,\left( {\forall \,t\, > 0} \right)\). Mặt khác \(y\left( 0 \right) = {e^0} + 0 – 1 = 0\) nên \(y = {e^t} + t – 1\, > 0\,\left( {\forall \,t > 0} \right)\), lúc đó \({e^{x – y}} + x – y – 1\, > 0\) với mọi \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thoả mãn điều kiện.

\(\left( {{e^{x – y}} + x – y – 1} \right)\left( {f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) + f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)} \right) > 0\). \( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) + f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) >  – f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)\). 

Mà \(f\left( { – x} \right) =  – f\left( x \right)\) nên \(f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) >  – f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)\).

\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) > f\left( { – {{\log }_2}\left( {\frac{1}{{x – y}}} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x – 10} \right) + 1} \right) > f\left( {{{\log }_2}\left( {x – y} \right)} \right)\). 

Mà hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập xác định nên 

\({\log _2}\left( {x – 10} \right) + 1 < {\log _2}\left( {x – y} \right) \Leftrightarrow 2\left( {x – 10} \right) < x – y \Leftrightarrow 2x – 20 < x – y \Leftrightarrow x < 20 – y\) 

Vậy ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}x > 10\\x < 20 – y\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 10\\10 < 20 – y\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 10\\y < 10\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right.\).

nên \(\left\{ \begin{array}{l}20 – y > x > 10\\1 \le y < 10\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10 > x – 10 + y > 0\\1 \le y < 10\\\left( {x\,;\,y} \right) \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right.\). 

Đặt \(x’ = x – 10 > 0\) lúc đó \(x’ + y < 10 \Leftrightarrow \,x’ + y + k = 10\) với \(k \in {\mathbb{Z}^ + }\). 

Vậy số bộ số \(\left( {x’\,;y} \right)\) thỏa mãn bằng số bộ số \(\left( {x\,;y} \right)\) là \(C_9^2 = 36\) bộ số.