Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 1} \right| = 2\)và \(\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right)\) là số thực?
A.\(1\).
B. \(3\).
C. \(0\).
D. . \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\).
\(\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right) = \left( {x + 1 + yi} \right)\left[ {x – \left( {y + 1} \right)i} \right] = \left( {{x^2} + {y^2} + x + y} \right) – \left( {x + y + 1} \right)i\).
Ta có: \(\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right)\)là số thực khi và chỉ khi \(x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – x – 1\,\).
Lại có: \(\left| {z – 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi – 1} \right| = 2 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 4\).
▪ Cách 1. Gọi \(M\left( {x,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) thì \(x;y\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 1} \right){^2} + {y^2} = 4\\x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 1} \right){^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\y = – \left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: \(M \in \left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 4\) tâm \(I\left( {1,0} \right)\), bán kính \(R = 2\) và \(M \in \Delta :y = – x – 1\,\).
Mặt khác: \(d\left( {I;\Delta } \right) = \sqrt 2 < R\). Vậy \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(2\)điểm phân biệt.
Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời