DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 2\) và \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z – 4i} \right)\) là số thuần ảo?
A.\(0\).
B. \(2\).
C. \(1\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = x + yi\)\(\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x\;;\;y} \right)\)là điểm biểu diễn của số phức \(z\). Ta có
+ \(\left| {z + i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\left| {x + yi + i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = 2\)\( \Leftrightarrow \)\({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)
\( \Rightarrow \)\(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \({I_1}\left( {0\;;\; – 1} \right)\), bán kính \({R_1} = 2\).
+ \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z – 4i} \right) = \left( {x + yi + 2} \right)\left( {x – yi – 4i} \right) = \left[ {\left( {x + 2} \right) + yi} \right]\left[ {x – \left( {y + 4} \right)i} \right]\)
\( = x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 4} \right) + \left[ {xy – \left( {x + 2} \right)\left( {y + 4} \right)} \right]i\)
\( = x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 4} \right) – \left( {4x + 2y + 8} \right)i\)
\(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z – 4i} \right)\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow \)\(x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0\)
\( \Rightarrow \)\(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \({I_2}\left( { – 1\;;\; – 2} \right)\), bán kính \({R_2} = \sqrt 5 \)
Đến đây ta có \(M\) là giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).
Ta có \({I_1}{I_2} = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \)\({R_2} – {R_1} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt.
Vậy có \(2\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời