DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 – 4i} \right| = 3\) và \(\left( {\overline z + 3i} \right)\left( {z – 3} \right)\)là số thực?
A.\(0\).
B. \(2\).
C. \(1\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(z = x + yi\,\,\,(x;y \in \mathbb{R})\), ta có:
+)\(\left| {z + 1 – 4i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {x + 1 + (y – 4)i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 9\).
+) \(\left( {\overline z + 3i} \right)\left( {z – 3} \right) = z\overline z + 3zi – 3\overline z – 9i = {x^2} + {y^2} – 3x – 3y + \left( {3x + 3y – 9} \right)i\)
\(\left( {\overline z + 3i} \right)\left( {z – 3} \right)\) là số thực nên \(x + y – 3 = 0\).
Từvàta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 9\\x + y – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x + 1} \right)^2} = 9\,\,\,\left( 3 \right)\\y = 3 – x\end{array} \right.\).
Dễ thấycó hai nghiệm phân biệt, vậy nên có hai số phức thỏa mãn bài toán.
Trả lời