Người ta muốn làm bao bìa cho que kem ốc quế bằng cách cắt đi một phần hình quạt của một mảnh giấy hình tròn có bán kính bằng \(R = 10\)và gấp phần còn lại thành hình nón. Nếu tất cả kem tan chảy vào phần ốc quế hình nón thì lượng kem chiếm \(80\% \) thể tích. Hỏi chiều dài cung tròn được xếp làm hình nón có độ dài nằm trong khoảng nào sau đây? Biết rằng phần kem là một khối cầu và bán kính bằng bán kính đáy phần ốc quế.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(x\) là chiều dài cung tròn được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính \(R\)của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là \(x.\)Bán kính \(r\) của đáy được xác định bởi đẳng thức \(2\pi r = x \Leftrightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\). 

Chiều cao của hình nón là \(h = \sqrt {{R^2} – {r^2}}  = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \). 

Thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \).

Thể tích của phần kem hình cầu là: \({V_{kem}} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

Theo bài

\(\begin{array}{l}{V_{kem}} = \frac{4}{5}V \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{5}.\frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow 5r = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{{5x}}{{2\pi }} = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {26} \pi R}}{{13}} \Rightarrow x = \frac{{\pi .10\sqrt {26} }}{{13}} \approx 12,322.\end{array}\) 

  DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Người ta muốn làm bao bìa cho que kem ốc quế bằng cách cắt đi một phần hình quạt của một mảnh giấy hình tròn có bán kính bằng \(R = 10\)và gấp phần còn lại thành hình nón. Nếu tất cả kem tan chảy vào phần ốc quế hình nón thì lượng kem chiếm \(80% \) thể tích. Hỏi chiều dài cung tròn được xếp làm hình nón có độ dài nằm trong khoảng nào sau đây? Biết rằng phần kem là một khối cầu và bán kính bằng bán kính đáy phần ốc quế.

A. \(\left( {8;10} \right)\). 

B. \(\left( {10;14} \right)\). 

C. \(\left( {5;78} \right)\). 

D. \(\left( {1;4} \right)\) 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(x\) là chiều dài cung tròn được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính \(R\)của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là \(x.\)Bán kính \(r\) của đáy được xác định bởi đẳng thức \(2\pi r = x \Leftrightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\). 

Chiều cao của hình nón là \(h = \sqrt {{R^2} – {r^2}}  = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \). 

Thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \).

Thể tích của phần kem hình cầu là: \({V_{kem}} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

Theo bài

\(\begin{array}{l}{V_{kem}} = \frac{4}{5}V \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{5}.\frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow 5r = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{{5x}}{{2\pi }} = \sqrt {{R^2} – {{\frac{x}{{4{\pi ^2}}}}^2}} \\ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {26} \pi R}}{{13}} \Rightarrow x = \frac{{\pi .10\sqrt {26} }}{{13}} \approx 12,322.\end{array}\)