Xét hai số phức \({z_1}\,,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1\,,\,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {2{z_1} + {z_2} – \left( {5 + 5i} \right)} \right|\) bằng
A. \(5\sqrt 2 + \sqrt {10} \).
B. \(5\sqrt 2 – \sqrt {10} \).
C. \(2\sqrt {10} – 5\sqrt 2 \).
D. \(2\sqrt {10} + 5\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\,,\,N\,,\,P\,,\,Q\,,\,H\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1}\,;\,{z_2}\,;\,2{z_1}\,;\,2{z_1} + {z_2}\,;\,5 + 5i\).
\( \Rightarrow \) \(\left| {{z_1}} \right| = OM = 1\), \(\left| {{z_2}} \right| = ON = \sqrt 2 \) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN = 1\).
Xét \(\Delta OMN\) có: \(\cos \widehat {MON} = \frac{{O{M^2} + O{N^2} – M{N^2}}}{{2OM.ON}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MON} = 45^\circ \).
Vì tứ giác \(OPQN\) là hình bình hành nên \(\widehat {OPQ} = 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ \) và \(PQ = \sqrt 2 \) nên:
\(O{Q^2} = Q{P^2} + O{P^2} – 2OP.PQ\cos 135^\circ = 10 \Rightarrow OQ = \sqrt {10} \) nên \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\) bán kính \(R = \sqrt {10} \).
Mà: \(\left| {2{z_1} + {z_2} – \left( {5 + 5i} \right)} \right| = HQ\) với \(H\left( {5\,;\,5} \right)\).
\(\left| {2{z_1} + {z_2} – \left( {5 + 5i} \right)} \right|\) nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \)\(HQ\) nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \)\(HQ = OH – OQ = 5\sqrt 2 – \sqrt {10} .\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời