Câu hỏi:
Gọi \({z_1}\), \({z_2}\)là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {\left( {i – 1} \right)z – 3i + 3} \right| = 2\)và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2.\)Gọi \(m\), \(n\)lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\). Giá trị của \(S = {m^3} + {n^3}\) bằng
A. \(54\).
B. \(126\).
C. \(72\).
D. \(90\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\left| {\left( {i – 1} \right)z – 3i + 3} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\left( {i – 1} \right)\left( {z – 3} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z – 3} \right| = \sqrt 2 \).
Gọi \(M\)là điểm biểu diễn của \(z\)ta có \(M\)nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)tâm \(I\left( {3;0} \right)\), \(R = \sqrt 2 \).
Gọi \(A\), \(B\)lần lượt là điểm biểu diễn cho \({z_1}\), \({z_2}\)ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow AB = 2\).
Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\)ta có tam giác \(IAB\)vuông tại \(I\)(theo định lý Pitago đảo) \( \Rightarrow IH = \frac{{AB}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\( \Rightarrow \)\(H\)chạy trên đường tròn tâm \(I\)bán kính \(R = 1\).
\(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = OA + OB \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)} \)
Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có
\(O{A^2} + O{B^2} = 2O{H^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2O{H^2} + \frac{{{2^2}}}{2} = 2O{H^2} + 2\)
\( \Rightarrow \max P{\rm{ }} = OI + R = 3 + 1 = 4\); \(\min P{\rm{ }} = \left| {OI – R} \right| = 3 – 1 = 2\)\( \Rightarrow m = 4\), \(n = 2\)\( \Rightarrow S = 64 + 8 = 72\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời