Câu hỏi:
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2021) Xét hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right|\) bằng
A. \(5 – \sqrt {19} .\)
B. \(5 + \sqrt {19} .\)
C. \( – 5 + 2\sqrt {19} .\)
D. \(5 + 2\sqrt {19} .\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm Min,Max mođun của số phức.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Gọi \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}.\)
B2:Tính \(\left| {{z_1}} \right|;\left| {{z_2}} \right|;\left| {3{z_1} + {z_2}} \right|.\)
B3:Tính Áp dụng:\(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\) \( \Rightarrow \left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right| \le \left| {3{z_1} + {z_2}} \right| + \left| { – 5i} \right| = \sqrt {19} + 5.\)
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}.\) Theo giả thiết thì
\({a^2} + {b^2} = 1,{\rm{ }}{c^2} + {d^2} = 4,{\rm{ }}{(a – c)^2} + {(b – d)^2} = 3.\)
Do đó \({a^2} – 2ac + {c^2} + {b^2} – 2bd + {d^2} = 3 \Rightarrow ac + bd = 1.\)
Ta có \(3{z_1} + {z_2} = 3(a + c) + (3b + d)i\) nên
\(\left| {3{z_1} + {z_2}} \right| = {(3a + c)^2} + {(3b + d)^2} = 9({a^2} + {b^2}) + ({c^2} + {d^2}) + 6(ac + bd) = 19.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\), ta có ngay
\(\left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right| \le \left| {3{z_1} + {z_2}} \right| + \left| { – 5i} \right| = \sqrt {19} + 5.\)
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời