Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 9\); điểm \(A\left( {2\,;\, – 1\,;\,8} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {a + 1} \right)x + \left( {2b – 2} \right)y + \left( { – a + b – 2} \right)z + c = 0\)\(\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt là \(\alpha \) và \(\beta \). Giá trị của biểu thức \(T = 2\alpha  – 5\beta \) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 9\); điểm \(A\left( {2\,;\, – 1\,;\,8} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {a + 1} \right)x + \left( {2b – 2} \right)y + \left( { – a + b – 2} \right)z + c = 0\)\(\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt là \(\alpha \) và \(\beta \). Giá trị của biểu thức \(T = 2\alpha  – 5\beta \) bằng:

A. \(3\sqrt 6  + 3\). 

B. \(\sqrt {35}  + 2\). 

C. \(\sqrt {26}  + 5\). 

D. \(2\sqrt {29}  + 6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tâm mặt cầu \(I\left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {a + 1\,;\,2b – 2\,;\, – a + b – 2} \right)\).

Dễ dàng có được \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\vec u = \left( {a + 1\,;\,2b – 2\,;\, – a + b – 2} \right) \cdot \left( {2\,;\, – 1\,;\,2} \right) = 0 \Rightarrow \left( P \right)\) luôn song song với giá của vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\, – 1\,;\,2} \right)\). Nếu gọi \(M\) là tiếp điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) thì điểm \(M\) sẽ chạy trên một đường tròn lớn của mặt cầu \(\left( S \right)\), đường tròn này nằm trong mặt phẳng vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow u \) và đi qua tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\). Các đường thẳng đi qua \(M\) song song với giá của véc tơ \(\overrightarrow u \)sẽ tạo ra một mặt trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy đúng bằng \(R\), có trục của mặt trụ là đường thẳng \(\Delta \), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(I\) và song song với giá của vectơ \(\overrightarrow u \).

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \)\(:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  – 1 – t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Gọi hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\). Gọi \(H\left( {1 + 2t; – 1 – t;2t} \right) \in \Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t – 1} \right) – 1\left( { – t} \right) + 2\left( {2t – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Khi đó tọa độ \(H\left( {5; – 3;4} \right)\).

Suy ra khoảng cách từ \(A\)đến đường thẳng \(\Delta \) là \(d\left( {A;\Delta } \right) = AH = \sqrt {29}  > R \Rightarrow A\) nằm ngoài mặt trụ \(\left( T \right)\).

Khoảng cách nhỏ nhất của điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(\beta  = 0\) vì tồn tại mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(A\).

Khoảng cách lớn nhất từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) cũng là đến các đường sinh của hình trụ \(\left( T \right)\). Như trên hình vẽ sẽ tương ứng là đoạn thẳng \({\rm{A}}K = AH + R = \sqrt {29}  + 3 = \alpha \).

Suy ra \(T = 2\alpha  – 5\beta  = 2\sqrt {29}  + 6\).