Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R = 3\) và \(\left( N \right)\) là một khối nón nội tiếp \(\left( S \right)\), có thể tích \(V\) và có đáy nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta \right)\). Biết rằng \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) khi \(V\) đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 3;\,\,\,\left( \beta \right):x + 2y + 2z – 3.\)
B. \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 4;\,\,\,\left( \beta \right):x + 2y + 2z – 4.\)
C. \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 5;\,\,\,\left( \beta \right):x + 2y + 2z – 5.\)
D. \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 6;\,\,\,\left( \beta \right):x + 2y + 2z – 6.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(x = d\left( {O;\left( \beta \right)} \right)\) và \(r\) là bán kính đáy của \(\left( N \right)\), khi đó chiều cao của \(\left( N \right)\) là \(h = R + x\).
Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \left( {{R^2} – {x^2}} \right).\left( {R + x} \right)\).
\(V’ = \frac{1}{3}\pi \left( { – 3{x^2} – 2Rx + {R^2}} \right)\). \(V’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{R}{3} = 1\).
\(\left( \beta \right)\)//\(\left( \alpha \right) \Rightarrow \left( \beta \right):x + 2y + 2z + d = 0\,\,\left( {d \ne 0} \right)\).
\(d\left( {O;\left( \beta \right)} \right) = x = \frac{{\left| d \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow d = \pm 3\).
Vậy \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 3;\,\,\left( \beta \right):x + 2y + 2z – 3\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời