Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
========
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1.
==============

Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} 2\sin^2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\mathrm{d}x=-\dfrac{2-\pi}{2}$.
Do đó giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left[f^2(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\mathrm{d}x=0$.
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \left[f(x)-\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2\mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow f(x)-\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0,\,\forall x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Suy ra $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \to I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x=\sqrt{2}\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\mathrm{d}x=0$.

==============

Lời Giải:
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được\\
$\displaystyle\int\limits_0^1 \ln^2(x+1)\mathrm{\,d}x=2\ln^2\dfrac{2}{\mathrm{e}}=\displaystyle\int\limits_0^1 2\ln^2\dfrac{2}{\mathrm{e}}\mathrm{\,d}x$.
Do đó giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)-\ln (1+x)\right]^2\mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow f(x) \equiv \ln (1+x),\,\forall x \in [0; 1]$.
Suy ra $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \ln (1+x)\mathrm{\,d}x=\ln \dfrac{4}{\mathrm{e}}$.
==============

Lời Giải:
Giả thiết tương đương với $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1\right]^2\mathrm{\,d}x=0$.
$ \to \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)=1,\,\forall x \in [0; 1] \to f'(x)f^2(x)=1 \to \displaystyle\int\limits f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x$.
$ \to \dfrac{f^3(x)}{3}=x+C\xrightarrow{f(0)=2}C=\dfrac{8}{3}$.
Vậy $f^3(x)=3x+8 \to I=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x=\dfrac{19}{2}$.

==============

Lời Giải:
Giả thiết $\Leftrightarrow 3\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\right]^2\mathrm{\,d}x+\dfrac{1}{3}=2\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x$.
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^1 \left[3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\right]^2\mathrm{\,d}x-2\displaystyle\int\limits_0^1 3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{\,d}x=0 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^1 \left[3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1\right]^2\mathrm{\,d}x=0$.
$ \to 3\sqrt{f'(x)} \cdot f(x)-1=0,\,\forall x \in [0; 1] \to 9f'(x) \cdot f^2(x)=1 \to \displaystyle\int 9f'(x) \cdot f^2(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \mathrm{\,d}x$.
$ \to 9 \cdot \dfrac{f^3(x)}{3}=x+C\xrightarrow{f(0)=1}C=3$.
Vậy $f^3(x)=\dfrac{1}{3}x+1 \to \displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)\right]^3\mathrm{\,d}x=\dfrac{7}{6}$.
==============