97. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 0} \right\}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2\ln 2 + 1\), \(x\left( {x + 1} \right)f’\left( x \right) + \left( {x + 2} \right)f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 0} \right\}\). Biết \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a\), \(b\) là hai số hữu tỉ. Tính \(T = {a^2} – b\).

Câu hỏi:

97. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 0} \right\}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2\ln 2 + 1\), \(x\left( {x + 1} \right)f’\left( x \right) + \left( {x + 2} \right)f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 0} \right\}\). Biết \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a\), \(b\) là hai số hữu tỉ. Tính \(T = {a^2} – b\).

A. \(T = \frac{{ – 3}}{{16}}\).

B. \(T = \frac{{21}}{{16}}\).

C. \(T = \frac{3}{2}\).

D. \(T = 0\).

Lời giải

Ta có \(x\left( {x + 1} \right)f’\left( x \right) + \left( {x + 2} \right)f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}f\left( x \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}f’\left( x \right) + \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}f\left( x \right) = \int {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} dx\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left| {x + 1} \right| + c\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left| {x + 1} \right| + c} \right).\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = 2\ln 2 + 1\)\( \Leftrightarrow c = 1.\)

Từ đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left| {x + 1} \right| + 1} \right)\), \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\ln 3.\) Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{4}}\\{b = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(T = {a^2} – b =  – \frac{3}{{16}}.\)

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân