94. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right){\rm{.}}{{\rm{e}}^x},{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

Câu hỏi:

94. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right){\rm{.}}{{\rm{e}}^x},{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {12;13} \right)\).

B. \(\left( {9;10} \right)\).

C. \(\left( {11;12} \right)\).

D. \(\left( {13;14} \right)\).

Lời giải

Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời \(f\left( 0 \right) = 2\) nên \(f’\left( x \right) \ge 0\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Từ giả thiết \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} = f\left( x \right).{{\rm{e}}^x},{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \(f’\left( x \right) = \sqrt {f\left( x \right)} .{{\rm{e}}^{\frac{x}{2}}},{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right).\)

Do đó, \(\frac{{f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{\frac{x}{2}}},{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right).\)

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được \(\sqrt {f\left( x \right)}  = {{\rm{e}}^{\frac{x}{2}}} + C,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\) với \(C\) là hằng số nào đó.

Kết hợp với \(f\left( 0 \right) = 2\), ta được \(C = \sqrt 2  – 1\).

Từ đó, tính được \(f\left( 2 \right) = {\left( {{\rm{e}} + \sqrt 2  – 1} \right)^2} \approx 9,81\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân