Câu hỏi:
93. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\). Hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng
A. \(\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).
B. \(\left( {2;\,\frac{5}{2}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
D. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
Lời giải
Ta tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x – \cos x} \right)\\{\rm{d}}v = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x – \cos x}}{\rm{d}}x\\v = – \cot x + 1\end{array} \right.\)
\(\int\limits_{}^{} {\frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) – \int {\left( {1 – \cot x} \right)\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x – \cos x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) – \int {\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) + \ln \left( {\sin x} \right) – x + C\).
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Rightarrow – \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1 + \frac{\pi }{2} \Rightarrow C \approx 2,57\).
Vậy hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng \(\left( {\frac{5}{2};\,3} \right)\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời