93. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\). Hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng

Câu hỏi:

93. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\). Hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng

A. \(\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

B. \(\left( {2;\,\frac{5}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

D. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Lời giải

Ta tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x – \cos x} \right)\\{\rm{d}}v = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x – \cos x}}{\rm{d}}x\\v =  – \cot x + 1\end{array} \right.\)

\(\int\limits_{}^{} {\frac{{\ln \left( {\sin x – \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) – \int {\left( {1 – \cot x} \right)\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x – \cos x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) – \int {\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sin x}}{\rm{d}}x} \)\( = \left( {1 – \cot x} \right)\ln \left( {\sin x – \cos x} \right) + \ln \left( {\sin x} \right) – x + C\).

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Rightarrow  – \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1 + \frac{\pi }{2} \Rightarrow C \approx 2,57\).

Vậy hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng \(\left( {\frac{5}{2};\,3} \right)\). 

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân